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O paradoxo do Hotel de Hilbert é um experimento mental matemático que ilustra uma propriedade contraintuitiva dos conjuntos infinitos. Ele mostra como um hotel com infinitos quartos, todos ocupados, ainda sim pode receber mais pessoas, e até mais infinitas pessoas, e esse processo de receber mais pessoas ainda pode ser repetido muitas vezes. Essa ideia foi apresentada pelo matemático alemão David Hilbert (1862-1943) em uma palestra chamada de "Über das Unendliche" e foi popularizada por um livro de George Gamow de 1947, chamado One, Two, Three... Infinity.^[1]^[2]

O paradoxo do Hotel de Hilbert

Considere um hotel hipotético com infinitos quartos, todos ocupados - isto é, todos os quartos contêm um hóspede. Suponha que um novo hóspede chega e gostaria de se acomodar no hotel. ^[3] Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos, então, se movermos o hóspede do quarto $1$ para o quarto $2$ , o hóspede do quarto $2$ para o quarto $3$ e assim por diante (simultaneamente), sempre movendo o hóspede do quarto $N$ para o quarto $N+1$ , podemos acomodar o novo hóspede no quarto $1$ , que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (contável) de novos clientes: apenas mova o hóspede do quarto $1$ para o quarto $2$ , o hóspede do quarto $2$ para o quarto $4$ , e, em geral, do quarto $N$ para o quarto $2N$ , assim, todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.^[3]

Infinitos ônibus

É também possível hospedar nesse hotel um número infinito (contável) de ônibus, cada um contendo um número infinito (contável) de passageiros. A possibilidade de fazer isso depende se os assentos do ônibus já estão numerados (alternativamente, o dono do hotel deve ter o axioma da escolha à sua disposição). Primeiro esvazie os quartos ímpares como acima, então coloque os passageiros do primeiro ônibus nos quartos $3^{n}$ para $n=1,2,3,...$ , os passageiros do segundo ônibus serão colocados nos quartos $5^{n}$ para $n=1,2,3,...$ e assim por diante; para o ônibus de número $i$ usamos os quartos de número $p^{n}$ onde $p$ é o $(i-1)$ -ésimo número primo.

Isso dá um resultado importante e não intuitivo; a situação "todo quarto está ocupado" e "nenhum novo hóspede pode ser acomodado" não são equivalentes quando existe um número infinito de quartos.

Alguns acham este fato bastante contra-intuitivo. As propriedade de "coleções de coisas" infinitas são bastante diferentes daquelas das "coleções de coisas" finitas. Em um hotel comum (com um número finito de quartos), o número de quartos com numeração ímpar é claramente menor que o número total de quartos (desde que haja mais de um quarto). Entretanto, no Hotel de Hilbert, a quantidade de quartos com numeração ímpar é igual ao número total de quartos. Em termos matemáticos, a cardinalidade do subconjunto contendo apenas os quartos com numeração ímpar é a mesma do conjunto contendo todos os quartos. De fato, conjuntos infinitos podem ser caracterizados como sendo aqueles que possuem um subconjunto próprio da mesma cardinalidade. Para infinitos contáveis, esta cardinalidade é denominada $\aleph _{0}$ (Aleph zero).

Em outras palavras, para qualquer conjunto infinito contável, existe uma bijeção que mapeia o conjunto infinito no conjunto dos números naturais, mesmo se o conjunto infinito contém (e é distinto) do conjunto dos naturais.

Referências

↑ Kragh, Helge (27 de março de 2014), The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel, doi:10.48550/arXiv.1403.0059, consultado em 27 de setembro de 2025
↑ Gamow, George (1947). One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Science. New York: Viking Press. p. 17
↑ ^a ^b Uff. «O hotel de Hilbert». Consultado em 16 de outubro de 2013

Ligações externas

[rdp-we-cite_note-1] Kragh, Helge (27 de março de 2014), The True (?) Story of Hilbert's Infinite Hotel, doi:10.48550/arXiv.1403.0059, consultado em 27 de setembro de 2025

[rdp-we-cite_note-2] Gamow, George (1947). One Two Three... Infinity: Facts and Speculations of Science. New York: Viking Press. p. 17

[rdp-we-cite_note-uff-3] Uff. «O hotel de Hilbert». Consultado em 16 de outubro de 2013

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