CS Knowledge Base

La viscoplasticitat és una teoria de la mecànica del continu que descriu el comportament inelàstic dependent de la velocitat dels sòlids. La dependència de la velocitat en aquest context significa que la deformació del material depèn de la velocitat a la qual s'apliquen les càrregues.^[1] El comportament inelàstic que és objecte de la viscoplasticitat és la deformació plàstica, que significa que el material pateix deformacions irrecuperables quan s'assoleix un nivell de càrrega. La plasticitat dependent de la velocitat és important per als càlculs de plasticitat transitòria. La principal diferència entre els models de materials plàstics i viscoplastics independents de la velocitat és que aquests últims presenten no només deformacions permanents després de l'aplicació de càrregues, sinó que continuen experimentant un flux de fluència en funció del temps sota la influència de la càrrega aplicada.

La resposta elàstica dels materials viscoplàstics es pot representar en una dimensió mitjançant elements de molla de Hooke. La dependència de la velocitat es pot representar mitjançant elements d'amortidor no lineals de manera similar a la viscoelasticitat. La plasticitat es pot tenir en compte afegint elements de fricció lliscants, tal com es mostra a la Figura 1.^[2] A la figura $E$ és el mòdul d'elasticitat, $\lambda$ és el paràmetre de viscositat i $N$ és un paràmetre de tipus llei de potència que representa un dashpot no lineal $[\sigma (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)=\sigma =\lambda (\mathrm {d} \varepsilon /\mathrm {d} t)^{1/N}]$ L'element lliscant pot tenir una tensió elàstica ( $\sigma _{y}$ ) que depèn de la velocitat de deformació, o fins i tot és constant, com es mostra a la figura 1c.

La viscoplasticitat se sol modelar en tres dimensions mitjançant models de sobretensió dels tipus Perzyna o Duvaut-Lions.^[3] En aquests models, es permet que la tensió augmenti més enllà de la superfície de fluència independent de la velocitat en aplicar una càrrega i després es permet que es relaxi de nou a la superfície de fluència amb el temps. En aquests models, se sol assumir que la superfície de fluència no depèn de la velocitat. Un enfocament alternatiu és afegir una dependència de la velocitat de deformació a la tensió de fluència i utilitzar les tècniques de plasticitat independent de la velocitat per calcular la resposta d'un material.^[4]

Per als metalls i aliatges, la viscoplasticitat és el comportament macroscòpic causat per un mecanisme vinculat al moviment de dislocacions en els grans, amb efectes superposats de lliscament intercristal·lí. El mecanisme sol ser dominant a temperatures superiors a aproximadament un terç de la temperatura de fusió absoluta. Tanmateix, certs aliatges presenten viscoplasticitat a temperatura ambient (300 K). Per a polímers, fusta i betum, la teoria de la viscoplasticitat és necessària per descriure el comportament més enllà del límit d'elasticitat o viscoelasticitat.

En general, les teories de la viscoplasticitat són útils en àrees com ara:

el càlcul de deformacions permanents,
la predicció del col·lapse plàstic d'estructures,
la investigació de l'estabilitat,
simulacions d'accidents,
sistemes exposats a altes temperatures com ara turbines de motors, per exemple, una central elèctrica,
problemes dinàmics i sistemes exposats a altes taxes de deformació.

Història

La recerca sobre les teories de la plasticitat va començar el 1864 amb el treball d'Henri Tresca,^[5] Saint Venant (1870) i Levy (1871)^[6] sobre el criteri de cisallament màxim.^[7] Von Mises va presentar un model de plasticitat millorat el 1913,^[8] que ara es coneix com a criteri de rendiment de von Mises. En viscoplasticitat, el desenvolupament d'un model matemàtic es remunta al 1910 amb la representació de la fluència primària mitjançant la llei d'Andrade.^[9] El 1929, Norton^[10] va desenvolupar un model de dashpot unidimensional que vinculava la taxa de fluència secundària amb la tensió. El 1934, Odqvist^[11] va generalitzar la llei de Norton al cas multiaxial.

Conceptes com la normalitat del flux plàstic a la superfície de fluència i les regles de flux per a la plasticitat van ser introduïts per Prandtl (1924)^[12] i Reuss (1930).^[13] El 1932, Hohenemser i Prager^[14] van proposar el primer model per a flux viscoplàstic lent. Aquest model proporcionava una relació entre la tensió desviatòria i la velocitat de deformació per a un sòlid de Bingham incompressible^[15] Tanmateix, l'aplicació d'aquestes teories no va començar abans del 1950, quan es van descobrir els teoremes límit.

El 1960, el primer Simposi IUTAM "Creep in Structures" organitzat per Hoff^[16] va proporcionar un desenvolupament important en la viscoplasticitat amb els treballs de Hoff, Rabotnov, Perzyna, Hult i Lemaitre per a les lleis d'enduriment isotròpic, i els de Kratochvil, Malinini i Khadjinsky, Ponter i Leckie, i Chaboche per a les lleis d'enduriment cinemàtic. Perzyna, el 1963, va introduir un coeficient de viscositat que depèn de la temperatura i del temps.^[17] Els models formulats estaven recolzats per la termodinàmica dels processos irreversibles i el punt de vista fenomenològic. Les idees presentades en aquests treballs han estat la base de la majoria de les investigacions posteriors sobre la plasticitat dependent de la velocitat.

Fenomenologia

Per a una anàlisi qualitativa, es realitzen diverses proves característiques per descriure la fenomenologia dels materials viscoplàstics. Alguns exemples d'aquestes proves són^[18]

proves d'enduriment a tensió o taxa de deformació constants,
proves de fluència a força constant, i
relaxació de tensions a elongació constant.

Prova d'enduriment per deformació

Una conseqüència de la cediment és que a mesura que avança la deformació plàstica, cal un augment de la tensió per produir una deformació addicional. Aquest fenomen es coneix com a enduriment per deformació/deformació.^[19] Per a un material viscoplàstic, les corbes d'enduriment no són significativament diferents de les del material plàstic independent de la velocitat. No obstant això, es poden observar tres diferències essencials.

A la mateixa deformació, com més alta sigui la velocitat de deformació, més alta serà la tensió
Un canvi en la velocitat de deformació durant la prova provoca un canvi immediat en la corba tensió-deformació.
El concepte de límit de rendiment plàstic ja no és estrictament aplicable.

La hipòtesi de dividir les deformacions desacoblant les parts elàstiques i plàstiques encara és aplicable on les deformacions són petites,^[20] és a dir,

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$ on ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }$ és la deformació elàstica i ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$ és la deformació viscoplàstica. Per obtenir el comportament tensió-deformació que es mostra en blau a la figura, el material es carrega inicialment a una velocitat de deformació de 0,1/s. La velocitat de deformació s'augmenta instantàniament a 100/s i es manté constant en aquest valor durant un temps. Al final d'aquest període, la velocitat de deformació torna a baixar instantàniament a 0,1/s i el cicle continua per a valors creixents de deformació. Hi ha clarament un retard entre el canvi de velocitat de deformació i la resposta a la tensió. Aquest retard es modelitza amb força precisió mitjançant models de sobretensió (com el model de Perzyna), però no mitjançant models de plasticitat independent de la velocitat que tenen una tensió elàstica dependent de la velocitat.

Prova de fluència

La fluència és la tendència d'un material sòlid a moure's lentament o deformar-se permanentment sota tensions constants. Les proves de fluència mesuren la resposta de deformació a causa d'una tensió constant, tal com es mostra a la Figura 3. La corba de fluència clàssica representa l'evolució de la deformació en funció del temps en un material sotmès a una tensió uniaxial a una temperatura constant. La prova de fluència, per exemple, es realitza aplicant una força/tensió constant i analitzant la resposta de deformació del sistema. En general, tal com es mostra a la Figura 3b, aquesta corba sol mostrar tres fases o períodes de comportament:^[21]

Una etapa de fluència primària, també coneguda com a fluència transitòria, és l'etapa inicial durant la qual l'enduriment del material provoca una disminució de la velocitat de flux, que inicialment és molt alta. $(0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})$ .
L'etapa secundària de fluència, també coneguda com a estat estacionari, és on la velocitat de deformació és constant. $({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})$ .
Una fase de fluència terciària en què hi ha un augment de la velocitat de deformació fins a la deformació de fractura. $({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})$ .

Prova de relaxació

Com es mostra a la Figura 4, la prova de relaxació^[22] es defineix com la resposta a la tensió deguda a una deformació constant durant un període de temps. En materials viscoplàstics, les proves de relaxació demostren la relaxació de la tensió en càrrega uniaxial a una deformació constant. De fet, aquestes proves caracteritzen la viscositat i es poden utilitzar per determinar la relació que existeix entre la tensió i la velocitat de deformació viscoplàstica. La descomposició de la velocitat de deformació és

${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.$ La part elàstica de la taxa de deformació ve donada per

${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}$

Per a la regió plana de la corba de deformació-temps, la velocitat de deformació total és zero. Per tant, tenim,

${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}$ Per tant, la corba de relaxació es pot utilitzar per determinar la velocitat de deformació viscoplàstica i, per tant, la viscositat del dashpod en un model de material viscoplàstic unidimensional. El valor residual que s'assoleix quan la tensió s'ha estancat al final d'una prova de relaxació correspon al límit superior de l'elasticitat. Per a alguns materials com la sal de roca, aquest límit superior d'elasticitat es produeix a un valor molt petit de tensió i les proves de relaxació es poden continuar durant més d'un any sense cap estancament observable en la tensió.

És important tenir en compte que les proves de relaxació són extremadament difícils de realitzar perquè mantenir la condició ${\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0$ en una prova requereix una delicadesa considerable.^[23]

Models reològics de viscoplasticitat

Els models constitutius unidimensionals per a la viscoplasticitat basats en elements de ressort-tauler-lliscador inclouen^[24] el sòlid perfectament viscoplàstic, el sòlid elàstic perfectament viscoplàstic i el sòlid elastoviscoplàstic d'enduriment. Els elements poden estar connectats en sèrie o en paral·lel. En els models on els elements estan connectats en sèrie, la deformació és additiva mentre que la tensió és igual en cada element. En les connexions paral·leles, la tensió és additiva mentre que la deformació és igual en cada element. Molts d'aquests models unidimensionals es poden generalitzar a tres dimensions per al règim de deformació petita. En la discussió posterior, les taxes de temps de deformació i tensió s'escriuen com ${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}$ i ${\dot {\boldsymbol {\sigma }}}$ , respectivament.

Sòlid perfectament viscoplàstic (model de Norton-Hoff)

En un sòlid perfectament viscoplàstic, també anomenat model de viscoplasticitat de Norton-Hoff, la tensió (com en els fluids viscosos) és una funció de la taxa de deformació permanent. L'efecte de l'elasticitat es negligeix en el model, és a dir, ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0$ i per tant no hi ha cap tensió de rendiment inicial, és a dir, $\sigma _{y}=0$ . El dashpod viscós té una resposta donada per

${\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\frac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}$ on $\eta$ és la viscositat del dashpod. En el model de Norton-Hoff, la viscositat $\eta$ és una funció no lineal de la tensió aplicada i ve donada per

$\eta =\lambda \left({\frac {\lambda }{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right)^{N-1}$

on $N$ és un paràmetre d'ajust, λ és la viscositat cinemàtica del material i $\|{\boldsymbol {\sigma }}\|={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}$ . Aleshores, la taxa de deformació viscoplàstica ve donada per la relació

${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left({\frac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right)^{N-1}$ En forma unidimensional, el model de Norton-Hoff es pot expressar com

$\sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\!\mathrm {vp} }\right)^{1/N}$ Quan $N=1.0$ el sòlid és viscoelàstic.

Si suposem que el flux plàstic és isocòric (preserva el volum), aleshores la relació anterior es pot expressar en la forma més familiar^[25]

${\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }$ on

${\boldsymbol {s}}$ és el tensor de tensió desviatòria, ${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }$ és la taxa de deformació equivalent de von Mises, i $K,m$ són paràmetres del material. La taxa de deformació equivalent es defineix com

${\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}$ Aquests models es poden aplicar en metalls i aliatges a temperatures superiors a dos terços^[26] del seu punt de fusió absolut (en kelvins) i polímers/asfalt a temperatura elevada. Les respostes per a les proves d'enduriment per deformació, fluència i relaxació d'aquest material es mostren a la Figura 6

Sòlid elàstic perfectament viscoplàstic (model de Bingham-Norton)

Es poden utilitzar dos tipus d'enfocaments elementals per construir un mode elàstic-viscoplàstic perfecte. En la primera situació, l'element de fricció lliscant i el dashpod estan disposats en paral·lel i després connectats en sèrie a la molla elàstica, tal com es mostra a la Figura 7. Aquest model s'anomena model de Bingham-Maxwell (per analogia amb el model de Maxwell i el model de Bingham) o model de Bingham-Norton.^[27] En la segona situació, els tres elements estan disposats en paral·lel. Aquest model s'anomena model de Bingham-Kelvin per analogia amb el model de Kelvin.

Per a materials perfectament elàstics-viscoplàstics, la deformació elàstica ja no es considera negligible, però la taxa de deformació plàstica només és una funció de la tensió elàstica inicial i no hi ha cap influència de l'enduriment. L'element lliscant representa una tensió elàstica constant quan se supera el límit elàstic independentment de la deformació. El model es pot expressar com

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}$ on $\eta$ és la viscositat de l'element del potenciòmetre. Si l'element del potenciòmetre té una resposta de la forma de Norton

${\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}$ obtenim el model de Bingham-Norton

${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}$ També es poden observar altres expressions per a la velocitat de deformació a la literatura^[28] amb la forma general

${\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}$

Les respostes a les proves d'enduriment per deformació, fluència i relaxació d'aquest material es mostren a la Figura 8.

Sòlid enduridor elastoviscoplàstic

Un material elastoviscoplàstic amb enduriment per deformació es descriu mitjançant equacions similars a les d'un material elastoviscoplàstic amb plasticitat perfecta. Tanmateix, en aquest cas, la tensió depèn tant de la velocitat de deformació plàstica com de la pròpia deformació plàstica. Per a un material elastoviscoplàstic, la tensió, després de superar la tensió elàstica, continua augmentant més enllà del punt elàstic inicial. Això implica que la tensió elàstica a l'element lliscant augmenta amb la deformació i el model es pot expressar en termes genèrics com

${\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\!\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}$

Models de plasticitat dependents de la velocitat de deformació

Els models clàssics de viscoplasticitat fenomenològica per a petites deformacions se solen classificar en dos tipus:^[29]

la formulació de Perzyna
la formulació de Duvaut-Lions

Formulació de Perzyna

En la formulació de Perzyna, se suposa que la taxa de deformació plàstica ve donada per una relació constitutiva de la forma

${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{altrament}}\\\end{cases}}$ on $f(.,.)$ és una funció de rendiment, ${\boldsymbol {\sigma }}$ és la tensió de Cauchy, ${\boldsymbol {q}}$ és un conjunt de variables internes (com ara la deformació plàstica ${\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }$ ), $\tau$ és un temps de relaxació. La notació $\langle \dots \rangle$ denota els claudàtors de Macaulay. La regla de flux utilitzada en diverses versions del model de Chaboche és un cas especial de la regla de flux de Perzyna^[30] i té la forma

${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}\operatorname {sgn} ({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})$ on $f_{0}$ és el valor quasiestàtic de $f$ i ${\boldsymbol {\chi }}$ és un contrafort. Diversos models de contrafort també es coneixen amb el nom de model Chaboche.

Formulació de Duvaut-Lions

La formulació de Duvaut-Lions és equivalent a la formulació de Perzyna i es pot expressar com

${\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\text{if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\text{altrament}}\end{cases}}$ on ${\mathsf {C}}$ és el tensor de rigidesa elàstica, ${\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}$ és la projecció puntual més propera de l'estat de tensió sobre el límit de la regió que delimita tots els possibles estats de tensió elàstica. La quantitat ${\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}$ es troba típicament a partir de la solució independent de la velocitat a un problema de plasticitat.

Models de tensió de flux

La quantitat $f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})$ representa l'evolució de la superfície de rendiment. La funció de rendiment $f$ sovint s'expressa com una equació que consisteix en algun invariant de tensió i un model per a la tensió elàstica (o tensió de flux plàstic). Un exemple és von Mises o $J_{2}$ plasticitat. En aquestes situacions, la velocitat de deformació plàstica es calcula de la mateixa manera que en la plasticitat independent de la velocitat. En altres situacions, el model de tensió elàstica proporciona un mitjà directe per calcular la velocitat de deformació plàstica.

S'utilitzen nombrosos models de tensió de flux empírics i semiempírics per a la plasticitat computacional. Els següents models dependents de la temperatura i la velocitat de deformació proporcionen una mostra dels models que s'utilitzen actualment:

el model Johnson-Cook
el model de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund.
el model de Zerilli-Armstrong.
El model de tensió llindar mecànica.
el model de Preston-Tonks-Wallace.

El model Johnson-Cook (JC)^[31] és purament empíric i és el més utilitzat dels cinc. Tanmateix, aquest model presenta una dependència de la velocitat de deformació poc realista a altes temperatures. El model Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL)^[32]^[33] és semiempíric. El model és purament empíric i independent de la velocitat de deformació a altes velocitats de deformació. A baixes velocitats de deformació s'utilitza una extensió basada en dislocacions basada en.^[34] El model SCGL és àmpliament utilitzat per la comunitat de física de xocs. El model Zerilli-Armstrong (ZA)^[35] és un model simple basat en la física que s'ha utilitzat àmpliament. Un model més complex que es basa en idees de la dinàmica de dislocacions és el model de tensió llindar mecànica (MTS).^[36] Aquest model s'ha utilitzat per modelar la deformació plàstica del coure, el tàntal,^[37] els aliatges d'acer^[38]^[39] i els aliatges d'alumini.^[40] Tanmateix, el model MTS està limitat a taxes de deformació inferiors a 10⁷/s. El model Preston-Tonks-Wallace (PTW)^[41] també es basa en la física i té una forma similar al model MTS. Tanmateix, el model PTW té components que poden modelar la deformació plàstica en el règim de xoc sobrecarregat (taxes de deformació superiors a 10⁷/s). Per tant, aquest model és vàlid per al rang més ampli de taxes de deformació entre els cinc models de tensions de flux.

Referències

↑ Perzyna, P. Advances in Applied Mechanics, 9, 2, 1966, p. 244–368.
↑ Lemaître, J. Mechanics of solid materials (en anglès). Cambridge University Press, 2002.
↑ Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.
↑ Batra, R. C.; Kim, C. H. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 38, 6, 1990, p. 859–874. Bibcode: 1990JMPSo..38..859B. DOI: 10.1016/0022-5096(90)90043-4.
↑ Tresca, H. (en francès) Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 59, 1864, p. 754–756.
↑ Levy, M. (en francès) Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 16, 1871, p. 369–372.
↑ Kojic, M. Inelastic Analysis of Solids and Structures (en anglès). Elsevier, 2006.
↑ von Mises, R. (en alemany) Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1913, p. 582–592.
↑ Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.
↑ Norton, F. H.. Creep of steel at high temperatures (en anglès). New York: McGraw-Hill, 1929.
↑ Odqvist, F. K. G. Proceedings of the Fourth International Congress for Applied Mechanics [Cambridge], 1934, p. 228.
↑ Prandtl, L. Proceedings of the 1st International Congress on Applied Mechanics, Delft (en anglès), 1924.
↑ Reuss, A. (en alemany) Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 10, 3, 1930, p. 266–274. Bibcode: 1930ZaMM...10..266R. DOI: 10.1002/zamm.19300100308.
↑ Journal of Rheology, DOI 10.1122/1.2116434
↑ Bingham, E. C.. Fluidity and plasticity (en anglès). New York: McGraw-Hill, 1922.
↑ Hoff. IUTAM Colloquium Creep in Structures; 1st (en anglès). Stanford: Springer, 1962.
↑ Lubliner, J. Plasticity Theory (en anglès). New York: Macmillan, 1990.
↑ Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.
↑ Young. The Science and Technology of Civil Engineering Materials (en anglès). New Jersey: Prentice Hall, 1998.
↑ Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.
↑ Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.
↑ François, D. Mechanical Behaviour of Materials (en anglès). II: Viscoplasticity, Damage, Fracture and Contact Mechanics. Kluwer Academic, 1993.
↑ Cristescu, N. Viscoplastic Behaviour of Geomaterials (en anglès). International Centre for Mechanical Sciences, 1994.
↑ Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.
↑ Rappaz, M. Numerical Modeling in Materials Science and Engineering (en anglès). Springer, 1998.
↑ Rappaz, M. Numerical Modeling in Materials Science and Engineering (en anglès). Springer, 1998.
↑ Irgens, F. Continuum Mechanics (en anglès). Springer, 2008.
↑ Irgens, F. Continuum Mechanics (en anglès). Springer, 2008.
↑ Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.
↑ Lubliner, Jacob. Plasticity theory (en anglès). Macmillan, 1990. ISBN 978-0-02-372161-8.
↑ Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistics, <http://www.lajss.org/HistoricalArticles/A%20constitutive%20model%20and%20data%20for%20metals.pdf>. Consulta: 13 maig 2009
↑ Steinberg, D. J.; Cochran, S. G.; Guinan, M. W. Journal of Applied Physics, 51, 3, 1980, p. 1498. Bibcode: 1980JAP....51.1498S. DOI: 10.1063/1.327799.
↑ Steinberg, D. J.; Lund, C. M. Journal de Physique. Colloques, 49, 3, 1988, p. 3 [Consulta: 13 maig 2009].
↑ Hoge, K. G.; Mukherjee, A. K. Journal of Materials Science, 12, 8, 1977, p. 1666–1672. Bibcode: 1977JMatS..12.1666H. DOI: 10.1007/BF00542818.
↑ Zerilli, F. J.; Armstrong, R. W. Journal of Applied Physics, 61, 5, 1987, p. 1816. Bibcode: 1987JAP....61.1816Z. DOI: 10.1063/1.338024.
↑ Follansbee, P. S.; Kocks, U. F. Acta Metallurgica, 36, 1, 1988, p. 81–93. DOI: 10.1016/0001-6160(88)90030-2.
↑ Chen, S. R.; Gray, G. T. Metallurgical and Materials Transactions A, 27, 10, 1996, p. 2994–3006. Bibcode: 1996MMTA...27.2994C. DOI: 10.1007/BF02663849.
↑ Goto, D. M.; Garrett, R. K.; Bingert, J. F.; Chen, S. R.; Gray, G. T. Metallurgical and Materials Transactions A, 31, 8, 2000, p. 1985–1996. Bibcode: 2000MMTA...31.1985G. DOI: 10.1007/s11661-000-0226-8.
↑ Banerjee, B. International Journal of Solids and Structures, 44, 3–4, 2007, p. 834–859. arXiv: cond-mat/0510330. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.05.022.
↑ Puchi-cabrera, E. S.; Villalobos-Gutierrez, C.; Castro-Farinas, G. Journal of Engineering Materials and Technology, 123, 2, 2001, p. 155. DOI: 10.1115/1.1354990.
↑ Preston, D. L.; Tonks, D. L.; Wallace, D. C. Journal of Applied Physics, 93, 1, 2003, p. 211–220. Bibcode: 2003JAP....93..211P. DOI: 10.1063/1.1524706.

[Perzyna-1] Perzyna, P. Advances in Applied Mechanics, 9, 2, 1966, p. 244–368.

[2] Lemaître, J. Mechanics of solid materials (en anglès). Cambridge University Press, 2002.

[Simo-3] Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.

[Batra-4] Batra, R. C.; Kim, C. H. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 38, 6, 1990, p. 859–874. Bibcode: 1990JMPSo..38..859B. DOI: 10.1016/0022-5096(90)90043-4.

[Tresca-5] Tresca, H. (en francès) Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 59, 1864, p. 754–756.

[Levy-6] Levy, M. (en francès) Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 16, 1871, p. 369–372.

[Kojic-7] Kojic, M. Inelastic Analysis of Solids and Structures (en anglès). Elsevier, 2006.

[Mises-8] von Mises, R. (en alemany) Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1913, p. 582–592.

[Betten-9] Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.

[Norton-10] Norton, F. H.. Creep of steel at high temperatures (en anglès). New York: McGraw-Hill, 1929.

[Odqvist-11] Odqvist, F. K. G. Proceedings of the Fourth International Congress for Applied Mechanics [Cambridge], 1934, p. 228.

[Prandtl-12] Prandtl, L. Proceedings of the 1st International Congress on Applied Mechanics, Delft (en anglès), 1924.

[Reuss-13] Reuss, A. (en alemany) Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 10, 3, 1930, p. 266–274. Bibcode: 1930ZaMM...10..266R. DOI: 10.1002/zamm.19300100308.

[Hohen-14] Journal of Rheology, DOI 10.1122/1.2116434

[Bingham-15] Bingham, E. C.. Fluidity and plasticity (en anglès). New York: McGraw-Hill, 1922.

[Hoff-16] Hoff. IUTAM Colloquium Creep in Structures; 1st (en anglès). Stanford: Springer, 1962.

[17] Lubliner, J. Plasticity Theory (en anglès). New York: Macmillan, 1990.

[Betten2-18] Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.

[19] Young. The Science and Technology of Civil Engineering Materials (en anglès). New Jersey: Prentice Hall, 1998.

[Simo2-20] Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.

[Betten3-21] Betten, J. Creep Mechanics (en anglès). 2a edició. Springer, 2005.

[Francois-22] François, D. Mechanical Behaviour of Materials (en anglès). II: Viscoplasticity, Damage, Fracture and Contact Mechanics. Kluwer Academic, 1993.

[Cristescu-23] Cristescu, N. Viscoplastic Behaviour of Geomaterials (en anglès). International Centre for Mechanical Sciences, 1994.

[Simo3-24] Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.

[Rappaz-25] Rappaz, M. Numerical Modeling in Materials Science and Engineering (en anglès). Springer, 1998.

[Rappaz2-26] Rappaz, M. Numerical Modeling in Materials Science and Engineering (en anglès). Springer, 1998.

[Irgens-27] Irgens, F. Continuum Mechanics (en anglès). Springer, 2008.

[Irgens2-28] Irgens, F. Continuum Mechanics (en anglès). Springer, 2008.

[Simo4-29] Simo, J. C.. Computational inelasticity (en anglès), 1998.

[Lubliner1990-30] Lubliner, Jacob. Plasticity theory (en anglès). Macmillan, 1990. ISBN 978-0-02-372161-8.

[Johnson83-31] Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistics, <http://www.lajss.org/HistoricalArticles/A%20constitutive%20model%20and%20data%20for%20metals.pdf>. Consulta: 13 maig 2009

[Steinberg80-32] Steinberg, D. J.; Cochran, S. G.; Guinan, M. W. Journal of Applied Physics, 51, 3, 1980, p. 1498. Bibcode: 1980JAP....51.1498S. DOI: 10.1063/1.327799.

[Steinberg89-33] Steinberg, D. J.; Lund, C. M. Journal de Physique. Colloques, 49, 3, 1988, p. 3 [Consulta: 13 maig 2009].

[Hoge77-34] Hoge, K. G.; Mukherjee, A. K. Journal of Materials Science, 12, 8, 1977, p. 1666–1672. Bibcode: 1977JMatS..12.1666H. DOI: 10.1007/BF00542818.

[Zerilli87-35] Zerilli, F. J.; Armstrong, R. W. Journal of Applied Physics, 61, 5, 1987, p. 1816. Bibcode: 1987JAP....61.1816Z. DOI: 10.1063/1.338024.

[Follans88-36] Follansbee, P. S.; Kocks, U. F. Acta Metallurgica, 36, 1, 1988, p. 81–93. DOI: 10.1016/0001-6160(88)90030-2.

[Chen96-37] Chen, S. R.; Gray, G. T. Metallurgical and Materials Transactions A, 27, 10, 1996, p. 2994–3006. Bibcode: 1996MMTA...27.2994C. DOI: 10.1007/BF02663849.

[Goto00-38] Goto, D. M.; Garrett, R. K.; Bingert, J. F.; Chen, S. R.; Gray, G. T. Metallurgical and Materials Transactions A, 31, 8, 2000, p. 1985–1996. Bibcode: 2000MMTA...31.1985G. DOI: 10.1007/s11661-000-0226-8.

[Banerjee05b-39] Banerjee, B. International Journal of Solids and Structures, 44, 3–4, 2007, p. 834–859. arXiv: cond-mat/0510330. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2006.05.022.

[Puchi01-40] Puchi-cabrera, E. S.; Villalobos-Gutierrez, C.; Castro-Farinas, G. Journal of Engineering Materials and Technology, 123, 2, 2001, p. 155. DOI: 10.1115/1.1354990.

[Preston03-41] Preston, D. L.; Tonks, D. L.; Wallace, D. C. Journal of Applied Physics, 93, 1, 2003, p. 211–220. Bibcode: 2003JAP....93..211P. DOI: 10.1063/1.1524706.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]