CS Knowledge Base

En matemáticas, os números de Euler son unha secuencia E_n de enteiros (secuencia A122045 na OEIS) definida pola expansión da serie de Taylor

{\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}

,

onde $\cosh(t)$ é a función coseno hiperbólica. Os números de Euler están relacionados cos polinomios de Euler, $E_{n}(x)$ avaliados no valor ${\frac {1}{2}}$ , a saber:

E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).

Os números de Euler aparecen nas expansións da serie de Taylor das funcións secante e secante hiperbólica. Esta última é a función na definición. Tamén ocorren en combinatoria, concretamente cando se conta o número de permutacións alternadas dun conxunto cun número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler impares son todos cero. Os de índice par (secuencia A028296 na OEIS) teñen signos alternados. Algúns valores son:

Fórmulas explícitas

En termos de números de Stirling do segundo tipo

As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler en termos de números de Stirling do segundo tipo:^[1]^[2]

E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}\right),

E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{\overline {\ell {\phantom {.}}}},

onde $S(n,\ell )$ denota os números de Stirling do segundo tipo, e $x^{\overline {\ell {\phantom {.}}}}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)$ denota o factorial ascendente.

Como dobre suma

As dúas fórmulas seguintes expresan os números de Euler como sumas dobres^[3]

E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},

E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.

Como suma iterada

Unha fórmula explícita para os números de Euler é:^[4]

E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},

onde $i$ denota a unidade imaxinaria con $i 2 = -1$ .

Como suma sobre particións

O número de Euler $E 2 n$ pódese expresar como unha suma sobre as particións pares de $2 n$ ,^[5]

E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},

así como unha suma sobre as particións impares de $2 n - 1$ ,

E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},

onde en ambos os casos $K = k 1 + \cdot\cdot\cdot + k n$ e

{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}

é un coeficiente multinomial. Os deltas de Kronecker nas fórmulas anteriores restrinxen as sumas sobre os $k$ s a $2 k 1 + 4 k 2 + \cdot\cdot\cdot + 2 nk n = 2 n$ e a $k 1 + 3 k 2 + \cdot\cdot\cdot + (2 n - 1) k n = 2 n - 1$ , respectivamente.

Como exemplo,

{\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}

Como determinante

$E 2 n$ is given by the determinant

{\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}

Como integral

$E 2 n$ is also given by the following integrals:

{\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\tan x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}

Límite inferior

Os números de Euler medran bastante rapidamente para índices grandes, xa que teñen o seu límite inferior

|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.

Números en zigzag de Euler

A serie de Taylor $\sec x+\tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)$ é

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},

onde $A n$ son os números en zigzag de Euler, comezando por

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 19037573145, 19037573151, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832,... (secuencia A000111 na OEIS)

Para todos os $n$ pares temos

A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},

onde $E n$ é o número de Euler.

Para todo $n$ impar temos,

A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},

onde $B n$ son os números de Bernoulli.

Notas

↑ Jha, Sumit Kumar (2019). "A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number". Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 8 (4): 385–387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389.
↑ Jha, Sumit Kumar (15 November 2019). "A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind".
↑ Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). "Several closed expressions for the Euler numbers". Journal of Inequalities and Applications 219 (2015). doi:10.1186/s13660-015-0738-9.
↑ Tang, Ross (2012-05-11). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-04-09.
↑ Vella, David C. (2008). "Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers". Integers 8 (1). pp. A1.

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

"Euler numbers". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Euler number". MathWorld.

[1] Jha, Sumit Kumar (2019). "A new explicit formula for Bernoulli numbers involving the Euler number". Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory 8 (4): 385–387. doi:10.2140/moscow.2019.8.389.

[2] Jha, Sumit Kumar (15 November 2019). "A new explicit formula for the Euler numbers in terms of the Stirling numbers of the second kind".

[3] Wei, Chun-Fu; Qi, Feng (2015). "Several closed expressions for the Euler numbers". Journal of Inequalities and Applications 219 (2015). doi:10.1186/s13660-015-0738-9.

[4] Tang, Ross (2012-05-11). "An Explicit Formula for the Euler zigzag numbers (Up/down numbers) from power series" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-04-09.

[5] Vella, David C. (2008). "Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers". Integers 8 (1). pp. A1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]